Точки розриву

Функція f(x) називається неперервною в точці х=а, якщо: 

1) вона визначена в цій точці; 

2) існує границя функції в цій точці 

3) значення границі дорівнює значенню функції в точці х=а, тобто

Якщо одна із умов порушується, то функція називається розривною в точці х=а, а сама точка х=а називається точкою розриву. Усі елементарні функції є неперервними на інтервалах визначеності.

КЛАСИФІКАЦІЯ ТОЧОК РОЗРИВУ

1.Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінчені односторонні границі справа 
 
та зліва
.

1.1. Якщо, крім того, виконується хоча б одна із умов
 
то функція в точці х=а має неусувний розрив першого роду.

1.2. Якщо границі функції рівні проте функція не існує
 
то маємо усувний розрив першого роду.

2. Точка х0 називається точкою розриву другого роду функції у= f(x), якщо границя справа  або зліва  не існує або нескінченна.

Стрибком функції в точці розриву х=х0 називається різниця її односторонніх границь

якщо вони різні.

Правила знаходження точок розриву функції

1)елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, але не може бути розривною на певному інтервалі.
2) елементарна функція може мати розрив в точці де вона не визначена за умови, що вона буде визначена хоча би з однієї сторони від цієї точки.
3) неелементарна функція може мати розриви як в точках, де вона невизначена, так і в тих, де вона визначена.
Наприклад, якщо функція задана кількома різними аналітичними виразами (формулами) для різних інтервалів, то на межі стику може бути розривною.


Додатково: https://web.posibnyky.vntu.edu.ua/fmib/8abramchuk_vstup_matemat_analizu_diferen_chislennya/page12.htm